metode derer taylor

A.    DERET DAN TEOREMA TAYLOR

          Dalam matematika, deret Taylor adalah representasi fungsi matematika sebagai jumlahan tak hingga dari suku-suku yang nilainya dihitung dari turunan fungsi tersebut di suatu titik. Deret ini dapat dianggap sebagai limit polinomial Taylor. Deret Taylor mendapat nama dari matematikawan Inggris Brook Taylor. Bila deret tersebut terpusat di titik nol, deret tersebut dinamakan sebagai deret Maclaurin, dari nama matematikawan Skotlandia Colin Maclaurin

Definisi:

Metode Taylor adalah suatu metode pendekatan yang menggunakan deret Taylor sebagai bentuk perbaikan nilai untuk nilai fungsi secara keseluruhan pada penyelesaian persamaan differensial. Deret taylor merupakan teorema utama untuk menurunkan suatu metode numerik. Deret Taylor dari sebuah fungsi riil atau fungsi kompleks f(x) yang terdiferensialkan tak hingga dalam sebuah persekitaran sebuah bilangan riil atau kompleks a adalah deret pangkat.

Bentuk umum:

Andaikan fungsi f dan semua turunannya,  pada selang [a,b]. Misalkan x_o ϵ[a,b], maka nilai x disekitar xo adalah:

yang dalam bentuk lebih ringkas dapat dituliskan sebagai berikut:

dengan n! melambangkan faktorial n dan f ⁽ⁿ⁾(a) melambangkan nilai dari turunan ke-n dari f pada titik a. Turunan ke nol dari f didefinisikan sebagai f itu sendiri, dan (x − a)⁰ dan 0! didefinisikan sebagai 1.

1.      Algoritma

a.       Tentukan jumlah iterasi (n)  , jarak partisi (h).

b.      Tentukan  x0  dan y0.

c.       Tentukan turunan-turunan yang diperlukan untuk menyelesaikan permasalahan.

d.      Hasil dari perhitungan.

2.      Penggunaan pada MATLAB

    Contoh 1:

Misalkan:

y’   = sin2x + 2y

y’’  = 2cos2x + 2y’

      = 2cos 2x +2sin2x + 4y

y’’’ = 4cos 2x + 8y

y’’’’ = 16 y

Maka ditulis :

fprintf('\t\t\t * metode deret Taylor  *\n');

disp('===============================================');

y1=inline (' sin(2*x) +2*y ');

y2=inline(' 2*cos(2*x) + 2 * sin (2*x) + 4*y ');

y3=inline ('4*cos(2*x) + 8*y ');

y4=inline ('16*y ');

y0=input('masukkan nilai y0=');

x0=input('masukkan nilai x0=');

h=input('masukkan nilai h=');

n=input('masukkan nilai n=');

disp('===================================================');

disp('maka hasilnya adalah');

disp('===================================================');

disp('  i  x(i)  y(i)  ');

disp('___________________________________________________');

for i = 1:n;

    x(i)=x0 +i*h;

    y(i)= y0 + (x(i)-x0)*y1(x0,y0) + (x(i)-x0)^2*y2(x0,y0)/factorial(2)+(x(i)-x0)^3*y3(x0,y0)/factorial(3)+ (x(i)-x0)^4*y4(y0)/factorial(4);

    disp(sprintf('%3g %5.3f %8.6f\n',i,x(i),y(i)));

end;

%plot(x,y);

disp('===================================================');

hasil yang tampil di commond window

* metode deret Taylor  *

============================================================

masukkan nilai y0=0

masukkan nilai x0=1

masukkan nilai h=0.1

masukkan nilai n=10

============================================================

maka hasilnya adalah

============================================================

  i  x(i)  y(i) 

____________________________________________________________

  1 1.100 0.095584

  2 1.200 0.199366

  3 1.300 0.309682

  4 1.400 0.424867

  5 1.500 0.543257

  6 1.600 0.663188

  7 1.700 0.782993

  8 1.800 0.901010

  9 1.900 1.015572

 10 2.000 1.125017

============================================================