Sabtu, 24 Mei 2014

uji statistik non parametrik

STATISTIKA NON PARAMETRIK







Tujuan Instruksional Umum :
  1. Mahasiswa mampu memahami apa yang dimaksud dengan Statistika Non Parametrik
  2. Mahasiswa mampu memahami kegunaan dari Statistika Non Parametrik
  3. Mahasiswa mampu memahami pengujian-pengujian yang dilakukan didalam Statistika Non Parametrik

Tujuan Instruksional Khusus :
  1. Mahasiswa mampu untuk menghitung Uji Tanda (Sign Test)
  2. Mahasiswa mampu menghitung Uji Mann Whitney
  3. Mahasiswa mampu menghitung Uji Wilcoxon (Wilcoxon Rank Test)
  4. Mahasiswa mampu menghitung uji Kruskal Wallis

Pertemuan minggu ke 9.














STATISTIKA NON PARAMETRIK



A. Pendahuluan
* Metode Non Parametrik = statistic bebas distribusi
* Dua asumsi tentang sampel yaitu :
~ Observasi sampel harus independen dan random
~ Variabel harus continue
* Metode ini berguna apabila sifat observasi datanya hanya dapat dinyatakan dalam urutan (order) atau pangkat (rank) tetapi tidak dapat diukur pada skala kuantitatif.

B. Berbagai Macam Uji Non-Parametrik
1. Pengujian Tanda (the sign test)
Uji Tanda I
  • Jika data berbentuk ordinal (peringkat)
  • Melihat apakah ada beda sampel yang satu dengan yang lain.
  • Pada uji tanda tidak memperhatikan besarnya perbedaan, tetapi hanya tanda “Positip” atau”negatif” dan apabila tidak ada perbedaan diberikan tanda “Nol”.
Langkah-langkah uji tanda
  1. Merumuskan hipotesa
  2. Memilih taraf nyata atau  a
  3. Menghitung frekuensi tanda, yaitu yang mempunyai tanda  + atau – , sementara tanda Nol tidak dipergunakan.
  4. Menentukan nilai “r” yaitu jumlah objek yang  memiliki jumlah paling kecil.
  5. Menentukan probablitas hasil sampel yang di observasi, dengan rumus:


  1. Kesimpulan: Menerima Ho, apabila taraf nyata (a) < probablitas hasil sampel dan menolak Ho apabila taraf nyata (a) > probablitas hasil sampel



a. Pengujian dengan sample kecil
H0 : P = P0 atau H0 : P = 0,50
H1 : P ≠ P0 atau H1 : P ≠ 0,50
Contoh :
Nomor Partai
Jml Produk rusak per partai = X1
Jml Produk rusak per partai = X2
Tanda
X1 – X2
01
138
135
+
02
135
139
-
03
130
140
-
04
180
165
+
05
146
115
+
06
135
136
-
07
148
135
+
08
165
163
+
09
190
193
-
10
110
85
+
11
137
130
+
12
163
150
+
13
160
162
-
14
129
119
+
15
149
150
-
16
206
173
+
17
165
151
+
18
119
125
-
19
167
155
+
20
125
130
-

  1. H0 : P = 0,50 ;  P > 0,50
  2. α = 0,05
  3. Stat. Uji : X = Sp = jumlah tanda positif (+)

  1. Daerah Kritis :
Dari table binomial kumulatif untuk n = 20, p = 0,5
Nilai yang mendekati α = 0,05 adalah 0,058 untuk X = r = 14
Maka daerah kritis adalah X ≥ 14, tolak H0
  1. Hasil Observasi sampel ialah X = Sp = 12
  2. Kesimpulan :
Karena 12 < 14 maka H0 : P = 0,50 ; H0 diterima.
Maka tidak cukup alasan guna menolak Hipotesis yang menyatakan bahwa jumlah produk rusak per partai dari hasil penggunaan mesin M1 dan M2 adalah identik.

b. Pengujian dengan Sampel Besar ( n > 30)
μx = np = 20 . 0,50 = 10

  1. H0 :  μx  = 10  ;   H1 :  μx  ≠ 10
  2. α = 0,05
  3. Daerah Kritis :
  1. Stat. Uji : Z =
Z > Zα/2  dan Z < – Zα/2  atau
Z > 1,96 dan Z < – 1,96
  1. τx = √ np (1- p)
= √ 20 . 0,5 . 0,5  = 2,23607
Z  = 12 -10     = 0,89443
2,23607

Karena 0,89443 < 1,96 maka kita tidak ada alasan guna menolak H0 :  μx  = 10, Maka Hal ini berarti jumlah produk rusak per partai dari kedua mesin adalah identik.




Uji Tanda II
    1. Uji Tanda satu sample

Contoh Soal : berikut ini adalah hasil penelitian dari jajak pendapat mengenai lokasi yang diinginkan oleh beberapa pedagang kaki lima
Nomor Pedagang
 Lokasi Yang dikehendaki Tanda
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
 Lokasi baru Lokasi baru
Lokasi lama
Lokasi baru
Lokasi lama
Lokasi lama
Lokasi baru
Lokasi lama
Lokasi lama
Lokasi lama
Lokasi baru
Lokasi baru
Lokasi lama
Lokasi lama
Lokasi lama
Lokasi baru
Lokasi lama
Lokasi lama
Lokasi lama
Lokasi baru		 + +
0
+
0
0
+
0
0
0
+
+
0
0
0
+
0
0
0
+

Rata-rata :

Standar Deviasi :


Jumlah tanda + = 8.

H0 : diduga jumlah pedagang yang memilih lokasi baru sama dengan jumlah pedagang yang memilih lokasi lama
Ha : Diduga jumlah pedang yang memilih lokasi lama tidak sama dengan jumlah pedangan yang memilih lokasi baru



Kesimpulan : Terima H0

    1. Uji Tanda dua sample

Contoh : berikut ini adalah hasil tes statistic mahasiswa dengan dua dosen yang berbeda
Mahasiswa
Dosen A
Dosen B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
90
85
70
80
60
55
72
67
56
78
82
66
65
89
75
84
77
50
88
97
80
75
67
85
67
50
75
70
50
74
80
63
60
90
80
87
75
56
90
87









Mahasiswa
Dosen A
Dosen B
Perbedaan
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
90
85
70
80
60
55
72
67
56
78
82
66
65
89
75
84
77
50
88
97
80
75
67
85
67
50
75
70
50
74
80
63
60
90
80
87
75
56
90
87
-
-
-
+
+
-
+
+
-
-
-
-
-
+
+
+
-
+
+
-

H0 : Tidak ada perbedaan nilai antara mahasiswa yang diajar dosen A dengan mahasiswa yang diajar dosen B
Ha : Tidak ada perbedaan nilai antara mahasiswa yang diajar dosen A dengan mahasiswa yang diajar dosen B


















2.  Pengujian Pangkat Bertanda ( Wilcoxon’s signed rank test)
  1. Uji Tanda Wilcoxon hanya melihat perbedaan dan arah tanpa melihat besarnya perbedaan.
  2. Berikut adalah langkah-langkah dalam  Wilcoxon Signed-rank test
Langkah – Langkah :
  1. Merumuskan hipotesa
  2. Menentukan nilai kritis. Nilai kritis diperoleh dengan mempergunakan tabel uji  peringkat bertanda Wilcoxon. Dan sebelumnya memilih taraf nyata (merupakan tingkat toleransi terhadap kesalahan kita terhadap sampel =  a).
  3. Menentukan nilai statistik Wilcoxon, dengan cara :
–     Membuat perbedaan data berpasangan tanpa memperhatikan tanda.
–     Memberikan ranking, tanpa memperhatikan tanda
–     Memisahkan nilai ranking yang positif dan negatif.
–     Menjumlahkan nilai rangking  yang positif dan negatif. Nilai terkecil merupakan nilai statistik Wilcoxon.
  1. Menentukan keputusan. Jika nilai statistik Wilcoxon < nilai kristis, maka Tolak Ho dan terima H1, begitu sebaliknya.
a. Pengujian dengan Sampel Kecil
Contoh :
Nomor Pas
Jml. Produk rusak dari M1 & M2
Pangkat Bertanda = τ
X1
X2
X1 – X2
Pangkat
Negatif
Positif
01
138
135
+3
5,5
+5,5
02
135
139
-4
7
-7
03
130
140
-10
11,5
-11,5
04
180
165
+15
17
+17
05
146
115
+31
19
+19
06
135
136
-1
1,5
-1,5
07
148
135
+13
14,5
+14,5
08
165
163
+2
3,5
+3,5
09
190
193
-3
5,5
-5,5
10
110
85
+2,5
18
+18
11
137
130
+7
10
+10
12
163
150
+13
14,5
+14,5
13
160
162
-2
3,5
-3,5
14
129
119
+10
11,5
+11,5
15
149
150
-1
1,5
-1,5
16
206
173
+33
20
+20
17
165
151
+14
16
+16
18
119
125
-6
9
-9
19
167
155
+12
13
+13
20
125
130
-5
8
-8
-47,5
+162,5

Uji Hipotesa :
  1. H0 : Jml produk rusak per partai M1 = Jml Produk rusak per partai M2
H1 : Jml produk rusak per partai M1 ≠ Jml Produk rusak per partai M2
  1. α = 0,05
  2. Stat. Uji τ : hasil penjumlahan yang terkecil dari nilai –nilai pangkat bertanda yang sama.
Untuk contoh soal : τ = 47,5
  1. Daerah Kritis :
Untuk n = 20, α = 0,05 ; pada tabel XIII, secara dua arah sehingga nilai kritisnya adalah 52.
Maka daerah Kritis : τhit  ≤ 52, H0 ditolak.
  1. Hasil Observasi Sampel :
τ = 47,5 , karena τhit  < 52 maka H0 ditolak
  1. Kesimpulan : Jml produk rusak per partai dari M1 ≠ Jml Produk rusak per partai dari M2

b. Pengujian dengan Sampel Besar
Jika pasangan n ternyata sama = atau lebih besar daripada 8 maka distr. Var. Random τ akan kurang lebih normal dengan rata-rata :
E (τ ) = n (n+1)
                 4
∂ (τ ) = √ n (n+1) (2n+1)
                        24

Stat.Uji : Z = τ – E (τ )
                       ∂ (τ )
Contoh :
  1. H0 : Jml produk rusak per partai M1 = Jml Produk rusak per partai M2
  2. H1 : Jml produk rusak per partai M1 ≠ Jml Produk rusak per partai M2
  3. α = 0,05
  4. Stat. Uji : Z = τ – E (τ )
                                ∂ (τ )

  1. Daerah Kritis :
Z > Zα/2  dan Z < – Zα/2  atau
Z > 1,96 dan Z < – 1,96
  1. E (τ ) = 20 (20 +1) = 105
4
∂ (τ ) = √{20(20+1)} {2 (20+1)}
                              24
= 26,7862
Z  =  47,5 – 105  =  -2,33329
          26,7862

Karena – 2,33329 > -1,96 maka kita seharusnya menolak hipotesis yang menyatakan bahwa Jml produk rusak per partai dri M1 sama dengan Jml Produk rusak per partai dari M2 .





3. Pengujian Mann-Withney U
Untuk menguji hipotesis nol yang menyatakan bahwa tidak ada perbedaan yang sesungguhnya antara kedua kelompok data dan dimana data tersebut diambil dari dua sampel yang tidak saling terkait.
Prosedur pengujian Mann – Whitney
  1. Menyatakan hipotesis dan α
  2. Menyusun peringkat data tanpa memperhatikan kategori sample
  3. Menjumlahkan peringkat menurut tiap kategori sample dan menghitung statistik U.


Stat.


atau
dimana :
R1 : jml peringkat yang diberikan pada sampel dengan jml n1
R2 : jml peringkat yang diberikan pada sampel dengan jml n2
~ Penarikan kesimpulan statistik mengenai hipotesis nol.
Contoh :
Gaji sarjana yang berkonsentrasi di bidang manajemen pemasaran dan sarjana yang berkonsentrasi di bidang keuangan yang telah lulus 10 tahun lalu, diberikan dalam tabel berikut :
Konsentrasi Pemasaran
Pendapatan tahunan (ribuan)
Peringkat pendapatan
Konsentrasi keuangan
Pendapatan tahunan (ribuan)
Peringkat pendapatan
Ali
22,4 (14)
14
 Lee
21,9 (13)
13
Ani
17,8 (3)
2
 Leman
16,8 (1)
1
Ira
26,5 (15)
15
 Frank
28,0 (16)
16
Sari
19,3 (7)
7
 David
19,5 (9)
9
Tomi
18,2 (5)
4,5
 Toni
18,2 (4)
4,5
Budi
21,1 (12)
12
 Sam
17,9 (3)
3
Fani
19,7 (10)
10
 Carter
35,8 (17)
17
Kiki
43,5 (18)
18
 Wati
20,5 (11)
11
 
Tita
18,7 (6)
6
 
Laura
19,4 (8)
8
n1 = 8
R1 = 82,5
 n2 = 10
R2 = 88,5
  1. H0 :  Gaji alumni dari kedua konsentrasi sama
H1 :  Gaji alumni dari konsentrasi pemasaran lebih tinggi daripada konsentrasi    keuangan
  1. α = 0,01
  2. Uji Stat :
µ = 8.10 + 8.9 – 82,5 = 33,5
                   2
atau
µ = 8.10 + 10.11 – 88,5 = 46,5
                    2

Nilai µ terkecil = n1n2 – nilai µ terbesar
= 8.10 – 46,5
= 33,5
  1. Daerah Kritis :
µ terkecil ≤ nilai dalam tabel µ , tolak H0
  1. Kesimpulan : karena 33,5 > 13, maka terima H0.
Maka tidak terdapat perbedaan gaji yang nyata antara alumni konsentrasi pemasaran dan alumni konsentrasi keuangan.








Uji Mann Whitney II



Rata-rata Populasi:


Standard Deviasi

Rata-rata Sampel :
dan  dipilih yang nilainya paling kecil

Z hitung :



















Contoh : berikut ini adalah data penjualan setelah beriklan di TV dan setelah beriklan diradio.
Toko
Radio
TV
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
O
P
Q
R
S
T
70
72
69
68
71
73
75
77
76
80
79
90
91
94
95
96
97
99
100
20(2)
23
21(3)
19(1)
24
27
26
25
28
30
29
37
33
31
32
34
36
39
40



H0: tidak terdapat perbedaan jumlah penjualan setelah beriklan di TV dengan Radio
Ha: terdapat perbedaan jumlah penjualan setelah beriklan di TV dengan Radio


Ranking :
Toko
Radio
TV
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
O
P
Q
R
S
T
70
72
69
68
71
73
75
77
76
80
79
90
91
94
95
96
97
99
100
20
23
21
19
24
27
26
25
28
30
29
37
33
31
32
34
36
39
40



Kesimpulan : Terima Ha



LAtihan Soal
Contoh : berikut ini adalah data nilai kinerja dari dua kelompok karyawan yang sudah ditraining dan yang belum di training

Sudah ditraining
(6 Karyawan)
Belum Ditraining
(7 Karyawan)
78
67
89
90
89
76
67
65
80
90
74
77
82

Apakah terdapat perbedaan penilaian kinerja antara karyawan yang sudah ditraining dengan karywan yang belum ditraining ?


4. Pengujian Kruskal-Wallis
Merupakan generalisasi uji dua sampel Wilcoxon untuk k > 2 sampel. Uji ini digunakan untuk menguji hipotesis nol (H0) bahwa k contoh bebas (sampel bebas) itu berasal dari populasi yang identik.
                        k
                        h =     12          Σ          ri2   -  3 (n+1)
                                n (n+1)    i=1       n1

bila h > X2α, k-1 maka H0 ditolak pada taraf nyata α ,bila h ≤ X2α, k-1 terima H0 .

Contoh :
Dalam percobaan untuk menentukan sistem peluru kendali yang terbaik, dilakukan pengukuran pada laju pembakaran bahan bakarnya. Datanya setelah dikodekan diberikan dalam tabel berikut. Gunakan uji Kruskal Wallis dan taraf nyata 0,05 untuk menguji hipotesis bahwa laju pembakaran bahan bakar sama untuk ketiga sistem tersebut.


Jawab :
Laju pembakaran bahan bakar
Sistem Peluru Kendali
1
2
3
24,0
23,2
18,4
16,7
19,8
19,1
22,8
18,1
17,3
19,8
17,6
17,3
18,9
20,2
19,7
17,8
18,9
18,8
19,3

1. H0 : µ1 = µ2 = µ3                        H1 : ketiga nilai tengah tidak semuanya sama.
2. α = 0,05
3. Daerah Kritis : h > X20,05 ; 3-1 = 5,991
4. Uji Stat :  dalam tabel diatas kita ubah pengamatan itu menjadi peringkat dan kemudian menjumlahkan semua peringkat untuk masing-masing sistem.
  Peringkat bagi Data Laju pembakaran bahan bakar
Sistem Peluru Kendali
1
2
3
19
18
7
1
14,5
11
17
6
2,5
14,5
4
2,5
9,5
16
13
r1 = 61,0
5
9,5
R2 = 63,5
8
12
r3 = 65,5

n1 = 5 , n2 = 6 , n3 = 8
r1 = 61  ;  r2 = 63,5  ;  r3 = 65,5

maka diperoleh nilai uji stat :
h =   12       [ 612  +  63,52 +  65,52 ] – (3) (20)
     19.20          5           6             8
= 1,66
5. Kesimpulan :
Karena h = 1,66 tidak jatuh dalam daerah kritis yaitu h > 5,991 berarti kita tidak mempunyai bukti yang cukup untuk menolak hipotesis bahwa laju pembakaran bahan bakar sama untuk ketiga sistem peluru kendali itu.


Uji Kruskal Walis II

H 0 : tidak terdapat perbedaan dari k kelompok sample
Ha : terdapat perbedaan dari k kelompok sample

Dengan menggunakan table Chi Square ( df = k -1)



Contoh :
Beriut ini adalah jumlah output yang dihasilkan oleh 3 kelompok karyawan, yang belum ditraining, yang sedang diraining dan yang sudah ditraining

Belum diraining
(5 karyawan)
Sedang ditraining
(5 karyawan)
Sudah ditraining
(4 karyawan)
96
128
83
61
101
82
124
132
135
109
114
149
166
147



Ranking :
Belum ditraining
(5 karyawan)
Sedang ditraining
(5 karyawan)
Sudah ditraining
(4 karyawan)
96(4)
128(9)
83(3)
61(1)
101(5)
82(2)
124(8)
132(10)
135(11)
109(6)
114(7)
149(13)
166(14)
147(12)

H0 :
Ha :


Chi Square table :




Kesimpulan :
Diposting oleh di

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)