metode iterasi titik tetap (fixed point)

A.    Metode Iterasi Titik Tetap (Fixed Point)

Metode Titik Tetap adalah suatu metode pencarian akar suatu fungsi f(x) secara sederhana dengan menggunakan satu titik awal. Perlu diketahui bahwa fungsi f(x) yang ingin dicari hampiran akarnya harus konvergen. Misal x adalah Fixed Point (Titik Tetap) fungsi f(x) bila g(x) = x dan f(x) = 0.

1.      Teorema :

Diketahui g(x) fungsi kontinu dan {X_n} adalah barisan yang terbetuk oleh Fixed Point Iteration, maka

Jika X_n = x maka x adalah Fixed Point fungsi g(x).

2.      Prosedur Metode Titik Tetap

Misal f(x) adalah fungsi yang konvergen dengan f(x) = 0, maka untuk mencari nilai akarnya atau hampiran akarnya kita terlebih dahulu mengubah kedalam bentuk x = g(x). Kemudian tentukan nilai titik awal, misal x₁. Setelah itu disubstitusikan titik awalnya ke persamaan g(x) sedemikian sehingga g(x₁) = x₂, setelah itu titik x₂ yang diperoleh substitusikan lagi ke g(x) sedemikian sehingga g(x₂) = x₃. Jadi apabila ditulis iterasinya akan menjadi

·         x₁ (penetuan titik awal)

·         x₂ = g(x₁) (iterasi pertama)

·         x₃ = g(x₂) (iterasi kedua)

·         x_n = g(x_n-1) (iterasi ke-n)

Iterasi ini akan berhenti jika x = g(x) dan f(x) = 0 atau sudah mencapai nilai error yang cukup kecil (|x_n - x_n-1| < ).

1.      Beberapa Algoritma Atau Syarat Dari Metode Iterasi Titik Tetap :

a.       Bentuk persamaan x_{r + 1} = g(x_r) dari persamaan f(x) = 0

b.      Taksir nilai awal, misal x₀ = a

c.       Hitung x_{r + 1} = g(x_r)

d.      Hitung |e| = |x_{r + 1} -x_r|

e.       Lakukan tahapan di atas secara berulang sehingga dipenuhi e< galat yang diinginkan.

Contoh:

Tentukanlah akar – akar persamaan f(x) = exp(x) - 9x = 0 dengan menggunakan metode iterasi titik tetap dengan e = 0,000001.

Penyelesaian:

fprintf('\t\t\t * metode titik tetap (fixed point)  *\n');

disp('===============================================');

%f(x) = exp(x) - 9*x=0

x0=0;

x=exp(x0)/9;

epsilon = 0.0000001;

iterasi=0;

disp('METODE TITIK TETAP untuk persamaan f(x)=exp(x)-9*x');

disp('x=0, epsilon=0.000001');

disp('iterasi akar');

while abs(x-x0)>epsilon;

x=x0;

x0=exp(x0)/9;

fprintf(' %3f %10.7f\n',iterasi, x);

iterasi=iterasi+1;

end;

akar = x;

fprintf('Akarnya adalah = %8.7f\n', akar);

fprintf('Jumlah Iterasi = %3f\n', iterasi);

hasil common window

* metode titik tetap (fixed point)  *

=========================================================

METODE TITIK TETAP untuk persamaan f(x)=exp(x)-9*x

x=0, epsilon=0.000001

iterasi akar

 0.000000  0.0000000

 1.000000  0.1111111

 2.000000  0.1241688

 3.000000  0.1258008

 4.000000  0.1260062

 5.000000  0.1260321

 6.000000  0.1260354

 7.000000  0.1260358

Akarnya adalah = 0.1260358

Jumlah Iterasi = 8.000000

>>