BAB
I
PENDAHULUAN
Dalam
permasalahan non-linier, terutama permasalahan yang mempunyai hubungan fungsi
eksponensial dalam pembentukan polanya dapat dianalisis secara eksperimental
maupun teoritis. Salah satu bagian dari analisa teoritis adalah dengan
melakukan komputasi dengan metode numerik. Metode numerik dalam komputasi akan
sangat membatu dalam menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang rumit
diselesaikan secara aritmatika. Metode numerik akan sangat membantu setiap
penyelesaian permasalahan apabila secara matematis dapat dibentuk suatu pola
hubungan antar variabel/parameter. Hal ini akan menjadi lebih baik jika pola
hubungan yang terbentuk dapat dijabarkan dalam bentuk fungsi. Ada sejumlah
metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan non-linear.
Dua diantaranya adalah metode Newton-Raphson.
Pendekatan
metode ini dalam menyelesaikan persoalan yang sama, bisa dikomparasikan
terhadap solusi akhir yang diperoleh. Kesesuaian nilai yang didapat dalam
metode ini, menunjukkan bahwa hasil perhitungan yang diperoleh adalah tepat.
Secara komputasi, disamping ketepatan nilai akhir dari suatu metode juga akan
mempertimbangkan kecepatan iterasi dalam perolehan hasil akhir. Kombinasi
antara ketepatan dan kecepatan iterasi dalam metode numerik merupakan hal yang
penting dalam penyelesaian permasalahan secara komputasi.
BAB
II
PEMBAHASAN
1.
Newton
Raphson
Metode
Newton-Raphson adalah metode pencarian akar suatu fungsi f(x) dengan pendekatan
satu titik, dimana fungsi f(x) mempunyai turunan. Metode ini dianggap lebih mudah
dari Metode Bagi-Dua (Bisection Method) karena metode ini menggunakan pendekatan satu
titik sebagai titik awal. Semakin dekat titik awal yang kita pilih dengan akar
sebenarnya, maka semakin cepat konvergen ke akarnya.
Prosedur
Metode Newton :
menentukan
x0 sebagai titik awal, kemudian menarik garis lurus (misal garisl) yang menyinggung titik f(x0). Hal ini berakibat garis
l memotong sumbu – x di titik x1. Setelah itu diulangi langkah
sebelumnya tapi sekarang x1dianggap sebagai titik awalnya. Dari
mengulang langkah-langkah sebelumnya akan mendapatkan x2, x3,
… xn dengan xn yang diperoleh adalah bilangan riil yang merupakan akar atau
mendekati akar yang sebenarnya.
Perhatikan
gambar diatas untuk menurunkan rumus Metode Newton-Raphson
persamaan garis l : y – y0 = m(x – x0)
y – f(x0) = f’(x0)(x
– x0)
x1 adalah perpotongan garis l dengan sumbu – x
0 – f(x0) = f’(x0)(x1 – x0)
y = 0 dan x = x1 maka koordinat titik (x1,
0)
–
= (x1 – x0)
x1 = x0 –
x2 = x1 –
xn = xn-1-
untuk n = 1, 2, 3, …
Algoritma
Metode Newton Raphson :
1. Definisikan fungsi f(x) dan f’(x)
2. Tentukan toleransi error (e) dan
iterasi maksimum (n)
3. Tentukan nilai pendekatan awal x0
4. Hitung f(x0) dan f’(x0)
5. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |f(xi)| ≥ e
6. Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir
diperoleh.
Contoh :
Tentukan akar dari persamaan 4x3 – 15x2 + 17x – 6 = 0 menggunakan Metode Newton-Raphson.
Penyelesaian :
f(x) = 4x3 – 15x2 + 17x – 6
f’(x) = 12x2 – 30x + 17
iterasi 1 :
ambil titik awal x0 = 3
f(3) = 4(3)3 – 15(3)2 + 17(3) – 6 = 18
f’(3) = 12(3)2 – 30(3) + 17 = 35
x1 = 3 –
= 2.48571
iterasi 2 :
f(2.48571) = 4(2.48571)3 – 15(2.48571)2 + 17(2.48571) – 6 = 5.01019
f’(2.48571) = 12(2.48571)2 – 30(2.48571) + 17 = 16.57388
x2 = 2.48571 –
= 2.18342
iterasi 3 :
f(2.18342) = 4(2.18342)3 – 15(2.18342)2 + 17(2.18342) – 6 = 1.24457
f’(2.18342) = 12(2.18342)2 – 30(2.18342) + 17 = 8.70527
x3 = 2.18342 –
= 2.04045
iterasi 4 :
f(2.04045) = 4(2.04045)3 – 15(2.04045)2 + 17(2.04045) – 6 = 0.21726
f’(2.04045) = 12(2.04045)2 – 30(2.04045) + 17 = 5.74778
x4 = 2.04045 –
= 2.00265
iterasi 5 :
f(3) = 4(2.00265)3 – 15(2.00265)2 + 17(2.00265) – 6 = 0.01334
f’(2.00265) = 12(2.00265)2 – 30(2.00265) + 17 = 5.04787
x5 = 2.00265 –
= 2.00001
iterasi 6 :
f(2.00001) = 4(2.00001)3 – 15(2.00001)2 + 17(2.00001) – 6 = 0.00006
f’(2.00001) = 12(2.00001)2 – 30(2.00001) + 17 = 5.00023
x6 = 2.00001 –
= 2.00000
iterasi 7 :
f(2) = 4(2)3 – 15(2)2 + 17(2) – 6 = 0
jika disajikan dalam tabel,
maka seperti tabel dibawah ini.
|
n
|
xn
|
f(xn)
|
f’(xn)
|
|
0
1
2
3
4
5
6
|
3
2.48571
2.18342
2.04045
2.00265
2.00001
2.00000
|
18
5.01019
1.24457
0.21726
0.01334
0.00006
0.00000
|
35
16.57388
8.70527
5.74778
5.04787
5.00023
5.00000
|
karena pada iteasi ketujuh f(x6) = 0 maka akar dari
persamaan tersebut adalah
x = 2.
Kode Program dengan
menggunakan matlab adalah sebagai berikut :
syms x
fprintf(' *METODE NEWTON RAPSON* \n');
disp('-----------------------------------------------------------------------');
y=4*x^3-15*x^2+17*x-6;
z=diff(y);
E=input('masukkan nilai toleransi :');
n=input('masukkan batas iterasi :');
x0=input('masukkan tebakan awal x :');
v(1)=x0;
M=5;
disp('____________________________________________________________');
disp('
i v(i+1) t(i) s(i) galat ');
disp('____________________________________________________________');
for i=1:n;
t(i)=subs(y,x,v(i));
s(i)=subs(z,x,v(i));
v(i+1)=v(i)-(t(i)/s(i));
if abs (v(i+1)-v(i))<E;
break
end
fprintf('%3.0f %12.6f %12.6f %12.6f %12.6f\n',i,v(i+1),t(i),s(i),M);
end
disp('------------------------------------------------------------------------')
fprintf('Akarnya persamaannya Adalah
=%12.6f\n',v(i+1));
Outputnya :
*METODE NEWTON RAPSON*
-----------------------------------------------------------------------
masukkan
nilai toleransi :0.000001
masukkan
batas iterasi :10
masukkan
tebakan awal x :3
__________________________________________________________________
i v(i+1)
t(i)
s(i) galat
__________________________________________________________________
1 2.485714 18.000000 35.000000 5.000000
2 2.183420
5.010192
16.573878 5.000000
3 2.040453
1.244567
8.705269 5.000000
4 2.002654
0.217256
5.747785 5.000000
5 2.000013
0.013336 5.047865
5.000000
6 2.000000
0.000063 5.000227
5.000000
------------------------------------------------------------------------
Akarnya
persamaannya Adalah = 2.000000
